硕士研究生招生考试业务课考试大纲
考试科目： 数学基础综合
一、考试目的和要求
科目代码： 894
《数学基础综合》为招收学科教学(数学)专业硕士生而拟设的具有选拔功能的考试,
其主要目的是测试考生对数学基础综合(包括高等数学和线性代数)最基本内容的理解、掌
握和应用能力。要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，理解高等数
学和线性代数中反映出的数学思想与方法，并能运用相关理论和方法分析、解决具有一定实
际背景的数学问题。
二、考试基本内容
高等数学中一元函数微积分、二元函数微积分和级数等相关内容，线性代数中行列式、
矩阵、向量空间、线性方程组、相似矩阵、二次型等相关内容。
三、考试题型及分值
总分150分。其中，高等数学部分90分，线性代数部分60分。两大部分均计算题为主，
并涉及少量证明题。
四、考试方式
闭卷。考试不允许带计算器。
五、考试知识点
(一)高等数学部分
1. 实数集与函数
函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性;基本初等不等式及应用。
2. 数列极限
数列极限的ε−N 定义;求解各类数列的极限;收敛数列的常用性质;数列收敛的判别
条件。
3. 函数极限
1
函数极限的ε−δ定义及其它变式;函数极限存在的条件及判别，应用两个重要极限求解
较复杂的函数极限;无穷小量、无穷大量的概念;会应用等价无穷小求极限。
4. 函数连续性
函数在某点及在区间上连续的几种等价定义，尤其是ε−δ定义;函数间断点及类型;闭
区间上连续函数的三大性质及其应用。
5. 一元函数微分学
导数的定义、几何意义，复合函数、参量函数、隐函数求导;微分的概念，复合函数微
分及一阶微分形式不变性。连续、可导、可微之间的关系;高阶导数的各种求解方法;微分
中值定理及其应用，洛必达(L’Hospital)法则求极限，单调区间、极值、最值的求法;Taylor
公式思想、方法及应用;曲线的凹凸性及拐点的求法，并掌握凸函数及性质;应用函数单调
性、凹凸性等工具证明函数不等式。
6. 一元函数积分学
原函数与不定积分，换元积分法、分部积分法，有理函数的积分;积分的定义和性质，
微积分基本定理熟练应用;换元法、分部积分法计算定积分;平面图形面积的计算;旋转体
或已知截面面积的体积;定积分求弧长。
7. 数项级数
级数收敛和发散的定义、性质，正项级数收敛的各种判别法，条件收敛、绝对收敛及
Leibniz 判别法。
8. 多元函数微分学
二元函数重极限，二元函数连续性及其性质，偏导数和全微分，会计算高阶偏导数(尤
其是二阶偏导数)，多元复合函数求导的链式法则、理解一阶全微分形式不变性;二元函数
连续、偏导数连续、可微、可偏导之间的相互关系;多元函数极值、最值的求解方法，并会
运用于解决实际问题;方向导数与梯度。
9.多元函数积分学
二重积分的概念、性质和计算。
(二) 线性代数部分
1. 行列式
2
行列式的定义及性质，行列式的余子式及代数余子式;行列式按行(列)展开定理、Cramer
法则、Vandermonde 行列式;运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。
2. 矩阵及其运算
矩阵的概念、基本运算，方阵的多项式;逆矩阵、矩阵可逆的条件，伴随矩阵及其性质;
矩阵的分块及运算;矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的等价、矩阵可逆的条件及与初等矩
阵之间的关系，矩阵的秩。
3. n维向量空间
向量组的线性相关性、向量组等价、向量组的秩与极大线性无关组，向量空间、子空间
的定义，向量(子)空间的基、维数、向量关于基的坐标，过渡矩阵，基变换与坐标变换;
向量的内积，线性无关向量组的正交规范化。
4. 线性方程组
线性方程组的矩阵表示和向量表示，Gauss 消元法，线性方程组有解的判别定理，线性
方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解。
5.相似矩阵
方阵特征值与特征向量的定义、性质及求法，矩阵相似的定义及性质、矩阵相似对角化
的条件及求法，对称矩阵的相似对角化。
6.二次型
二次型及其矩阵表示，矩阵的合同、二次型的标准形与规范形、惯性定理;实二次型在
合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征值标准型的求法;实二次型或实对称矩阵的正
定、半正定、负定、半负定的定义及判别法。
六、参考书目
1.同济大学数学系. 高等数学(第八版，上、下册).北京：高等教育出版社,2023年.6 月
2.华中科技大学数学与统计学院.线性代数(第四版).北京:高等教育出版社,2019年.1 月