河南工业大学
硕士研究生入学考试大纲
科目名称：高等代数
科目代码： 837
《高等代数》考试概要
一、考试要求和知识点
(1)考试要求
○ 1.理解数域的概念。
1. 一元多项式
○ 2.掌握一元多项式的运算规律，掌握整除的概念和性质，并会运用带余除法。
○ 3.掌握辗转相除法，并会求最大公因式，掌握互素的概念和性质。
○ 4.掌握不可约多项式的概念和性质，理解因式分解定理。
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○ 5.掌握重因式的概念和判别。
○ 6.理解多项式函数概念，掌握余数定理。
○ 7.掌握实系数、复系数和有理系数多项式的因式分解及判别法。
(2)知识点
一元多项式，因式分解，整除，有理系数多项式，最大公因式，重因式等
2. 行列式和矩阵
(1)考试要求
○ 1.理解行列式的概念和性质。
○ 2.掌握常见行列式的计算方法。
○ 3.理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质。
○ 4.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式以及它们的运算规则，
并会进行计算。
○ 5.掌握矩阵的初等变换，初等矩阵的概念，并会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。
○ 6.掌握逆矩阵的概念及性质，以及矩阵可逆的条件，掌握利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。
○ 7.熟悉分块矩阵及其运算。
(2)知识点
行列式的概念和性质，行列式的计算，矩阵的概念、矩阵的加、减、乘等运算，数量矩阵，矩
阵的转置，矩阵乘积的行列式与秩，逆矩阵，矩阵的分块，初等矩阵，矩阵的等价，分块矩阵乘法
的初等变换。
(1)考试要求
3. 向量组的线性相关性
○ 1.理解n维向量空间，向量的线性组合与线性表示的概念。
○ 2.理解线性相关、线性无关的定义，并会应用向量组线性相关，无关的有关性质及判别法。
○ 3.理解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩。
○ 4.理解向量组等价的概念。
○ 5.理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
(2)知识点
线性组合，线性相关，线性无关，向量组和矩阵的秩。
4. 线性方程组
(1)考试要求
○ 1.了解消元法求解线性方程组。
○ 2.理解齐次和非齐次线性方程组的解的特点。
○ 3.掌握判定线性方程组解的情况的方法。
○ 4.理解线性方程组解的结构。
(2)知识点
消元法,向量空间，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构，基础解系。
(1)考试要求
5. 二次型
○ 1.掌握二次型及其矩阵表示，理解二次型秩的概念。
○ 2.掌握合同变换和合同矩阵的概念，理解二次型的标准形，规范形的概念，了解惯性定性及规
范形的唯一性。
○ 3.掌握配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。
○ 4.掌握正定二次型和正定矩阵的概念及判别。
(2)知识点
线性替换，n元二次型，标准形，二次型的矩阵，规范形，惯性定理，正定二次型。
6. 线性空间
(1)考试要求
○ 1.掌握线性空间定义与性质。
○ 2.掌握线性空间的维数，基与坐标的概念和求法。
○ 3.理解基变换与坐标变换的概念，会求过渡矩阵。
○ 4.理解子空间的概念，掌握子空间的性质及生成的条件。
○ 5.掌握两个子空间的交与和的概念及性质。
○ 6.了解线性空间的同构的概念。
(2)知识点
线性空间的定义与简单性质，维数，基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交
与和，线性空间的同构。
7. 线性变换
(1)考试要求
○ 1.理解线性变换的定义和运算。
○ 2.掌握线性变换的矩阵求法。
○ 3.掌握线性变换或矩阵的特征值与特征向量。
○ 4.掌握矩阵的相似对角化问题。
○ 5.理解线性变换的值域与核。
○ 6.掌握不变子空间的概念和证明方法。
(2)知识点
线性变换的定义，运算，矩阵，线性变换的值域，核，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对
角矩阵的条件，不变子空间。
(1)考试要求
8. -矩阵
○ 1.了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系，-矩阵等价与矩阵相似的关系。
○ 2.掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念与计算。
○ 3.掌握行列式因子与标准型的对应，初等因子组与Jordan标准形的对应。
○ 4.掌握-矩阵可逆的定义与判别条件.会计算-矩阵的标准形，复系数矩阵的Jordan标准
形。
(2)知识点
-矩阵的相关概念、等价以及判定;行列式因子、不变因子、初等因子的相关概念与应用;
矩阵的标准形与Jordan标准形。
(1)考试要求
○ 1.理解欧氏空间的定义及性质。
○ 2.理解标准正交基的定义及判别方法。
○ 3.理解子空间的定义和正交补的求法。
9. 欧氏空间
○ 4.掌握正交变换和对称变换的判别条件。
(2)知识点
欧氏空间的概念，标准正交基，子空间，正交变换，对称变换。
二、参考书
[1] 高等代数， 北京大学数学系前代数小组 编，王萼芳 石生明 修订，北京：高等教育出版
社，2019.