01

　　三角形中常见辅助线的添加

　　1. 与角平分线有关的

　　(1) 可向两边作垂线。

　　(2)可作平行线，构造等腰三角形

　　(3)在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

　　2. 与线段长度相关的

　　(1)截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

　　(2)补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

　　(3)倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

　　(4)遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

　　3. 与等腰等边三角形相关的

　　(1)考虑三线合一

　　(2)旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °

　　02

　　四边形中常见辅助线的添加

　　特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。

　　1. 和平行四边形有关的辅助线作法

　　平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

　　(1) 利用一组对边平行且相等构造平行四边形

　　(2)利用两组对边平行构造平行四边形

　　(3)利用对角线互相平分构造平行四边形

　　2. 与矩形有辅助线作法

　　(1)计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。

　　(2)证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。

　　3. 和菱形有关的辅助线的作法

　　和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。

　　(1)作菱形的高

　　(2)连结菱形的对角线

　　4. 与正方形有关辅助线的作法

　　正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

　　5. 与梯形有关的辅助线的作法

　　和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

　　(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形

　　(2)作梯形的高，构造矩形和直角三角形

　　(3)作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形

　　(4)延长两腰构成三角形

　　(5)作两腰的平行线等

　　03

　　圆中常见辅助线的添加

　　1. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)

　　常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。

　　作用：

　　① 利用垂径定理

　　② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系

　　③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量

　　2. 遇到有直径时

　　常常添加(画)直径所对的圆周角

　　作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

　　3. 遇到90度的圆周角时

　　常常连结两条弦没有公共点的另一端点

　　作用：利用圆周角的性质，可得到直径

　　4. 遇到弦时

　　常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点

　　作用：

　　①可得等腰三角形

　　②据圆周角的性质可得相等的圆周角

　　5. 遇到有切线时

　　常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)

　　作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

　　常常添加连结圆上一点和切点

　　作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

　　6. 遇到证明某一直线是圆的切线时

　　(1) 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

　　作用：若OA=r，则l为切线

　　(2) 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心(即作半径)

　　作用：只需证OA⊥l，则l为切线

　　(3) 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

　　7. 遇到两相交切线时(切线长)

　　常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点

　　作用：据切线长及其它性质，可得到

　　① 角、线段的等量关系

　　② 垂直关系

　　③ 全等、相似三角形

　　8. 遇到三角形的内切圆时

　　连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

　　作用：利用内心的性质，可得

　　① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线

　　② 内心到三角形三条边的距离相等

　　9. 遇到三角形的外接圆时

　　连结外心和各顶点

　　作用：外心到三角形各顶点的距离相等

　　10. 遇到两圆外离时

　　(解决有关两圆的外、内公切线的问题)常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线

　　作用：

　　①利用切线的性质;

　　②利用解直角三角形的有关知识

　　11. 遇到两圆相交时

　　常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

　　作用：

　　①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识

　　② 利用圆内接四边形的性质

　　③ 利用两圆公共的圆周的性质

　　④ 垂径定理

　　12. 遇到两圆相切时

　　常常作连心线、公切线

　　作用：

　　①利用连心线性质

　　②切线性质等

　　13. 遇到三个圆两两外切时

　　常常作每两个圆的连心线

　　作用：可利用连心线性质

　　14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时

　　常常添加辅助圆

　　作用：以便利用圆的性质