一、传说中毕达哥拉斯的证法

　　左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

　　在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

　　二、赵爽弦图的证法

　　第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直

　　角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

　　第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的

　　角三角形拼接形成的(虚线表示)，不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。

　　因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

　　这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

　　三、美国第20任总统茄菲尔德的证法

　　这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为

　　的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

　　这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

　　勾股定理的逆定理

　　勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边:

　　如果，则△ABC是直角三角形。

　　如果，则△ABC是锐角三角形(若无先前条件AB=c为最长边,则该式的成立仅满足∠C是锐角)。

　　如果，则△ABC是钝角三角形。

　　(这个逆定理其实只是余弦定理的一个延伸)