南京信息工程大学硕士研究生招生入学考试
考试大纲
科目代码：T005
科目名称：实变函数
第一部分 目标与基本要求
一、目标
1. 了解和掌握测度论(包括外测度、可测集、可测函数等)和勒贝格积分中的基本概念和基本理论, 运用全新的、现代数学的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题。
2. 将数学分析中的具体问题推广到一种更加通用的分析形式加以研究，以解决数学分析的技术无法克服的问题。为进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。
【专业课必备：2026考研自命题考试大纲】
二、基本要求
“实变函数”课程考试的主要内容为测度论，可测函数、可积函数概念、微分与不定积分等。同时要求考生了解现代分析的基础理论，了解实变函数中的常用技巧与方法。
第二部分具体内容
1、集合
(1)掌握集合运算，理解集合的(可数)交、(可数)并、补运算，上限集以及下限集的概念。
(2)掌握集合基数的概念，了解可数集与不可数集的定义和性质。
2、点集
(1)掌握度量空间，n维欧式空间概念，理解距离定义与性质。
(2)掌握聚点、孤立点、边界点概念。理解闭包、内点定义与性质。掌握Bolzano-Weierstrass定理。
(3)理解开集、闭集概念以及开集与闭集的对偶关系。掌握开集、闭集的集合运算性质。理解紧集、稠密集合、稀疏集合、完备集合定义与性质。
(4)掌握直线上开集与闭集的结构。
(5)掌握康托三分集概念。
3、测度
(1)掌握外测度定义与性质(单调性、次可数可加性)。
(2)理解可测集性定义和性质、集合可测充要条件、可测集运算。掌握测度跟外测度的关系。
(3)掌握零测集的性质。
(4)理解σ-代数、博雷尔代数的定义与性质，掌握欧氏空间的σ-代数、博雷尔代数上测度的性质，理解勒贝格可测集合与博雷尔可测集合的关系、博雷尔可测集合与Fσ(Gδ)集合的关系。
4、可测函数
(1)掌握可测函数概念与性质。理解可测函数与可测集的关系、可测函数与连续函数的关系、可测函数的四则运算、可测函数与简单函数的关系。理解几乎处处的定义。
(2)掌握叶戈罗夫定理与其应用。
(3)掌握连续函数与可测函数的关系，理解卢津定理与其应用。
(4)理解依测度收敛与几乎处处收敛的关系，里斯定理与其应用。
5、积分
(1)掌握非负简单函数勒贝格积分概念、性质、四则运算。理解可测函数勒贝格积分定义。掌握勒贝格积分的性质(绝对连续性、可数可加性、单调性、四则运算、勒贝格控制收敛定理、法图引理)。
(2)理解勒贝格积分与黎曼积分的关系。
(3)掌握勒贝格积分的几何意义，了解截面定理与富比尼定理。
6、微分与不定积分
(1)掌握维塔利覆盖定理。
(2)理解单调函数列导数概念，了解勒贝格微分定理。
(3)掌握有界变差函数概念与性质(可加性、有界性、四则运算)，理解有界变差函数的若尔当分解。
(4)掌握勒贝格可积函数不定积分概念与性质，理解绝对连续函数定义与性质。掌握绝对连续函数与勒贝格可积函数的关系。
(5)掌握勒贝格-斯蒂尔切斯积分定义与性质，理解勒贝格-斯蒂尔切斯积分与有界变差的关系。
(6)了解勒贝格-斯蒂尔切斯外测度、测度概念与性质(单调性、次可数可加性)。
第三部分 有关说明
1、命题说明：分值比例：“了解”占15%，“理解”占40%，“掌握”占45%;题型为解答题和证明题。
2、参考书目:
(1)程其襄, 张奠宙, 胡善文, 薛以锋, 实变函数与泛函分析基础(第4版), 高等教育出版社, 2019.
(2)夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌, 实变函数论与泛函分析(上册，第二版修订本), 高等教育出版社, 2010.
3、其他规定：考试方式为闭卷笔试，总分100分，考试时间为120分钟。
4、本科目考试不得使用计算器。