《数学分析》

　　考试基本要求:

　　要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有逻辑推

　　理能力、运算能力、空间想象能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

　　考试内容和要求:

　　一、极限理论

　　考试内容

　　数列极限和函数极限的概念和收敛的基本性质 四则运算 收敛准则

　　连续函数定义性质 闭区间上连续函数的性质

　　考试要求

　　1.数列极限 理解数列极限的 N

　　  定义，掌握收敛数列的基本性质及数列收敛的条件，掌握极限及其应用。

　　2.函数极限 理解各种类型的一元函数极限的定义(、 M语言 )，掌握函数极限的基本性质、归结

　　原则和柯西收敛准则，掌握两个重要极限及其应用，熟练掌握求函数极限的

　　各种方法，掌握无穷小量与无穷大量阶的比较。

　　3.函数的连续性 理解函数连续与间断的概念及一致连续性概念。理解连续函数的局部性质。掌握有界闭集

　　上连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、一致连续性)。

　　二、一元函数微分学

　　考试内容

　　导数和微分的定义高阶导数 导数和微分的四则运算 复合函数的求导

　　中值定理 洛比达法则，泰勒公式 函数的几何形状

　　考试要求

　　1. 导数与微分 理解函数在某一点导数与微分的准确定义。掌握连续、可导与可微的关系。掌握导数各种形

　　式的计算方法，掌握一阶微分形式不变性。

　　2.微分学基本定理及其应用 理解掌握罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理， 泰勒公式(Peano 余项

　　与 Lagrange 余项)及应用。熟练掌握洛比达法则求极限。掌握函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性

　　讨论。

　　三、一元函数积分学

　　考试内容

　　定积分的定义和几何意义 不定积分和定积分的计算 微积分基本定理 变限积分 反常积分

　　考试要求

　　1.不定积分 理解原函数与不定积分概念，掌握不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分

　　法)，会求简单有理函数积分。

　　2.定积分 理解定积分概念与几何意义，掌握定积分性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定

　　积分第一中值定理)及应用。理解变上限积分函数，掌握微积分基本定理，掌握牛顿-莱布尼兹公式及定积

　　分计算，掌握定积分第二中值定理应用。

　　3.广义积分 理解掌握无穷积分概念、柯西收敛准则，绝对收敛与条件收敛。掌握 ( )f x 非负时 ( )

　　a f x dx

　　

　　 的

　　收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)。掌握阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。掌握无界函数广义积分概

　　念及其收敛性判别法。

　　四、数项级数和函数项级数

　　考试内容

　　数项级数的收敛性判别法 绝对收敛条件收敛函数项级数一致收敛性判别法

　　幂级数 傅里叶级数

　　考试要求

　　1. 数项级数 掌握级数及其敛散性，掌握柯西准则及收敛必要条件，理解收敛级数基本性质。掌握正项级数

　　收敛的充要条件及比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式。掌握交错级数的莱布尼兹判别

　　法，掌握一般项级数的绝对收敛、条件收敛性 ，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法。

　　2. 函数项级数 理解函数列与函数项级数的一致性收敛性，掌握一致收敛性判别法(魏尔斯特拉斯 M-判别法、

　　阿贝尔判别法及狄利克雷判别法)及柯西收敛准则。掌握函数项级数的性质及其应用。

　　3. 幂级数 掌握幂级数概念及收敛半径与收敛域。掌握阿贝尔定理。掌握幂级数的逐项可积性、可微性及其

　　应用。掌握和函数及其求法。掌握函数展开成泰勒级数、麦克劳林级数。

　　4. 傅里叶级数 理解三角级数、三角函数系的正交性。掌握以 2

　　 、2 l 为周期的周期函数的傅里叶级数展

　　开。掌握函数展开成正弦级数及余弦级数。理解掌握收敛性定理。

　　五、多元函数微分学

　　考试内容

　　多元函数的极限 二元连续函数 偏导数 可微 高阶偏导数 拉格朗日乘数法隐函数定理

　　考试要求

　　1.偏导数与全微分 理解掌握偏导数、全微分定义及其几何意义，掌握可微与偏导存在、连续之间的关系，

　　掌握复合函数的偏导数与全微分。掌握方向导数与梯度定义及求法，会求高阶偏导数。

　　2.隐函数定理与微分的应用 理解隐函数存在定理及隐函数组存在定理，掌握隐函数及隐函数(组)求导方

　　法。掌握几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线)。掌握极值

　　问题研究(必要条件与二元极值的充分条件)，会拉格朗日乘数法求条件极值。

　　六、多元函数积分学

　　考试内容

　　重积分的定义及几何意义变量代换 极坐标球面坐标和柱面坐标 第一、二型曲线积分 第一、二型曲面积

　　分 格林公式 高斯公式

　　考试要求

　　1.重积分 理解二重积分概念及其几何意义，掌握二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标

　　变换)。理解三重积分概念，掌握三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换)。重积分的应用(体

　　积、曲面面积、重心等)。

　　2.曲线积分与曲面积分 理解第一型曲线积分、曲面积分的概念及基本性质。掌握第一型曲线积分、曲面积

　　分计算方法。理解第二型曲线积分概念及性质，掌握第二型曲线积分计算。掌握格林公式内容及应用，理解

　　平面曲线积分与路径无关的条件。掌握曲面的侧、理解第二型曲面积分的概念及性质，掌握第二型曲面积分

　　计算，掌握高斯公式内容及应用。

　　七、含参变量积分

　　考试内容

　　含参变量积分的定义 含参变量积分与函数项级数的关系 含参变量反常积分的一致收敛性

　　考试要求

　　1.掌握含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性。

　　2.掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法(魏尔斯特拉斯 M 判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法)，

　　含参量反常积分的连续性、可微性、可积性。

　　主要参考书目:

　　《数学分析》，华东师范大学数学科学院编， 2019 年 5 月第 5 版，高等教育出版社