877《高等代数》2026年考试大纲
一、考试的基本要求
要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握
高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理
能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试方式和考试时间
闭卷考试;总分150分;考试时间为3小时。不允许使用计算器。
三、考试内容
高等代数基础知识及其应用。
四、试题类型：
主要包括简答题、计算题、证明题、论述题等类型。
五、考试内容及要求
(一)多项式： 1.多项式的带余除法及整除性、最大公因式、互
素多项式; 2.不可约多项式、因式分解唯一性定理、重因式、复系
数与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定;3.多
项式函数与多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根的
求法、根与系数的关系。
(二)行列式： 1.行列式的定义及性质，行列式的子式、余子式
及代数余子式; 2.行列式按一行、列的展开定理、Cramer法则、
Laplace 定理和行列式乘法定理、Vandermonde行列式; 3.运用行
列式的性质及展开定理等计算行列式。
(三)线性方程组： 1.Gauss 消元法与初等变换; 2.向量组的
线性相关性、向量组的秩与极大线性无关组、矩阵的秩;3.线性方
程组有解的判别定理与解的结构。
(四)矩阵： 1.矩阵的基本运算、矩阵的分块及常用分块方法;
2.矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的等价、矩阵的迹、方阵的多
1
项式;3.逆矩阵、矩阵可逆的条件及与矩阵的秩和初等矩阵之间的
关系，伴随矩阵及其性质;4.运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。
(五)二次型理论： 1.二次型及其矩阵表示、矩阵的合同、二次
型的标准形与规范形、惯性定理;2.实二次型在合同变换下的规范
形以及在正交变换下的特征值标准型的求法;3.实二次型或实对称
矩阵的正定、半正定、负定、半负定的定义、判别法及其应用。
(六)线性空间： 1.线性空间、子空间的定义与性质，向量组的
线性相关性，线性(子)空间的基、维数、 向量关于基的坐标，基
变换与坐标变换，线性空间的同构; 2.子空间的基扩张定理，生成
子空间，子空间的和与直和、维数公式; 3.一些常见的子空间，如
线性方程组的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间。
(七)线性变换： 1.线性变换的定义、性质与运算，线性变换的
矩阵表示，矩阵的相似、同一个线性变换关 于不同基的矩阵之间的
关系;2.矩阵的特征多项式与最小多项式及其性质、线性变换及其
矩阵的特征值和特征向量的概 念和计算、特征子空间、实对称矩阵
的特征值与特征向量的性质; 3.线性变换的不变子空间、核、值域
的概念、关系及计算; 4.Hamilton-Caylay 定理、矩阵可相似对角
化的条件与方法、线性变换矩阵的化简、Jardan 标准形。
(八)欧氏空间：1.内积与欧氏空间的定义及性质，向量的长度、
夹角、距离，正交矩阵，欧氏空间的同构，正交子空间与正交补;2.欧
氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的Schmidt正交化
方法;3.正交变换与正交矩阵的等价条件，对称变换的概念与性质;
4.实对称矩阵的正交相似对角化的求法;最小二乘法、初等旋转和
镜像变换。
六、参考书目(仅供参考)
[1]《高等代数》第5版，北京大学数学系前代数小组编，王萼芳，石
生明修订，高等教育出版社，2019年5月.