2026年硕士研究生招生初试科目考试大纲

　　(学术型)

　　学院名称(公章)：数学科学学院

　　专业代码及名称： 070100数学 科目代码及名称： 715高等代数

　　考试大纲：

　　考试科目：高等代数

　　考试形式和试卷内容结构

　　一、试卷满分及考试时间

　　试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

　　二、答题方式

　　答题方式为闭卷、笔试.

　　三、试卷题型

　　计算题(50%)证明题(50%).

　　四、考试内容及要求

　　(一)考试内容：

　　1. 多项式理论

　　多项式的整除关系;多项式的最大公因式性质、求法及证明;多项式的

　　互素关系;多项式的可约性判别;多项式有无重因式的判别;多项式的根理

　　论;与矩阵有关的多项式问题.

　　2. 行列式

　　n阶行列式的定义、性质、计算及应用.

　　3. 矩阵

　　矩阵的运算(包括矩阵的线性运算、乘积运算、幂运算、转置运算、逆

　　运算、方阵的行列式运算等);分块矩阵及其运算;伴随矩阵、矩阵可逆性的

　　判别及逆矩阵的求法;矩阵的秩(定义、求法、矩阵的秩的等式或不等式的

　　证明);矩阵的初等变换及其应用;矩阵的特征多项式、特征值、相似矩阵、

　　矩阵的对角化;矩阵的分解(包括矩阵的和式分解、乘积分解);特殊矩阵

　　(包括单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、初等矩阵、对称矩阵、

　　反对称矩阵、正交矩阵、正定矩阵、对合矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵)的性

　　质等.

　　4. 线性方程组

　　线性方程组有解的判别;会用Cramer法则和初等变换法求解线性方程

　　组;齐次线性方程组的基础解系、解空间和通解的求法;非齐次线性方程组

　　的解与其导出组的解之间关系.

　　5. 线性空间与线性变换

　　线性空间的定义与性质;向量组的线性相关性及其判别;向量组的极大

　　线性无关组的求法;线性空间的基与维数的求法;基变换与坐标变换及过渡

　　矩阵的求法;子空间的性质、生成及判别;交空间与和空间的基与维数的求

　　法;子空间直和的证明;线性空间同构的定义、性质及判别;两个线性空间

　　之间的同构映射的建立等.

　　6. 线性变换

　　线性变换的定义、运算与性质;线性变换与矩阵的关系;线性变换的像

　　空间与核空间的性质及其求法;不变子空间的证明;线性变换的特征值与特

　　征向量的性质及求法;相似矩阵的性质及判别;线性变换可以对角化(矩阵

　　可以对角化)的判别;求线性空间的一组基，使得线性变换关于这组基的矩

　　阵为对角形矩阵等.

　　7. 欧氏空间与线性变换

　　欧氏空间中向量的内积、长度、夹角、距离的性质与计算;正交组与标

　　准正交组的性质;施密特正交化过程;欧氏空间同构的判别;正交变换(正

　　交矩阵)的性质及判别;对称变换(对称矩阵)的性质及判别;子空间的正

　　交补的性质及证明.

　　8. 二次型

　　二次型及其矩阵表示;二次型等价(矩阵合同)的性质及判别;二次型

　　的标准形、规范形的求法(包括配方法、合同变换法、正交变换法);正定二

　　次型(正定矩阵)、负定二次型(负定矩阵)、半正定二次型(半正定矩阵)、

　　半负定二次型(半负定矩阵)的性质及其判别等.

　　(二)考试要求

　　在熟练掌握高等代数的基本理论、基本方法的基础上，理解各知识点之

　　间的内在联系，掌握一定的解题技巧，会运用这些基本知识、基本方法去分

　　析和解决综合性的问题.

　　学院名称(公章)：数学科学学院

　　专业代码及名称： 070100 数学 科目代码及名称： 817数学分析

　　考试大纲：

　　考试科目：数学分析

　　考试形式和试卷结构

　　一、试卷满分及考试时间

　　试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

　　二、答题方式

　　答题方式为闭卷、笔试.

　　三、试卷题型结构

　　以解答题(包括计算题、证明题、应用题)为主，单选题和填空题为辅

　　的题型结构。

　　四、考试内容

　　1.极限理论

　　数列极限与函数极限的分析定义，极限的思想和方法，求数列极限与函

　　数极限的常用方法，数列极限与函数极限的关系，即海涅(Heine)定理，无

　　穷小量与无穷大量的概念及其关系，无穷小量与无穷大量的阶的比较以及无

　　穷小分析的有关问题等等。

　　2.函数的连续性与实数基本定理

　　与函数的连续性有关的一系列问题，如连续的三要素，初等函数的连续

　　性，间断点的类型，连续函数的局部性质，连续函数的整体性质(即闭区间

　　上连续函数的几个重要性质)，一致连续性等，实数基本定理(确界存在定

　　理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、完备性定理(即Cauchy收敛

　　原理)、有限覆盖定理、聚点原理)的内容以及利用实数基本定理解决问题的

　　常用方法。

　　3.一元函数微分学

　　导数与微分的定义，导数的求法，可导、可微、连续三者之间的关系以

　　及导数的两个重要特征(1°导数没有第一类间断点;2°导数的介值性——

　　达布(Darboux)定理)，费尔马(Fermat)定理，罗尔(Rolle)定理，拉格

　　朗日(Lagrange)中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，泰勒(Taylor)公

　　式以及利用导数(包括高阶导数)研究函数的各种性态(如函数的单调性、

　　极值、最值、凹凸性、拐点、不等式问题、大小比较问题等等)的常用方

　　法。

　　4.一元函数积分学

　　原函数与不定积分的概念，常用的积分公式，可积准则与三类可积函

　　数，牛顿—莱布尼兹公式，求不定积分与计算定积分的常用方法：如利用积

　　分的线性性质，利用换元积分法，利用分部积分法，利用有理函数化为最简

　　分式法，利用无理函数的几种有理化处置法，利用三角函数的几种常用替换

　　法和万能代换等，积分中值定理，与积分上限函数的分析性质有关的一系列

　　问题以及积分估值问题，定积分的应用。

　　5.多元函数微分学

　　多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分以及方向导数的概念，多元

　　函数的连续性、可偏导性、可微性三个分析性质之间的关系，并与一元函数

　　的相关情形进行比较，多元复合函数求偏导数的链锁规则，多元函数可微的

　　充分条件和必要条件，隐函数存在定理以及多元微分学的应用(如空间曲线

　　的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值与条件极值等)。

　　6.多元函数积分学

　　二重积分的计算方法(直角坐标系下二重积分的计算和二重积分的极坐

　　标变换)，三重积分的计算方法(直角坐标系下三重积分的计算和三重积分的

　　柱面坐标变换与球面坐标变换)，曲线积分与曲面积分的计算方法(包括第一

　　类、第二类曲线积分的计算与第一类、第二类曲面积分的计算)，格林

　　(Green)公式，高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式，各种积分

　　间的换算关系，曲线积分与路径无关的条件以及多元积分的应用。

　　7.级数理论

　　考试内容主要包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶(Fourier)

　　级数四个部分。数项级数部分的考试内容为数项级数敛散性的定义与判别

　　法，正项级数敛散性的常用判别法以及交错级数收敛性的莱布尼兹

　　(Leibniz)判别法。函数项级数部分的考试内容为函数项级数或函数列的一

　　致收敛性以及与一致收敛性有关的一系列问题，如证明一致收敛与证明不一

　　致收敛的常用方法，一致收敛的函数项级数的和函数(或一致收敛的函数列

　　的极限函数)的各种分析性质等。幂级数部分的考试内容为幂级数的收敛半

　　径、收敛域、内闭一致收敛性、和函数的分析性质以及函数的幂级数展开

　　等。Fourier级数部分的考试内容为利用Euler-Fourier公式求周期函数的

　　Fourier系数，周期函数的Fourier级数展开(包括函数的正弦级数展开和余

　　弦级数展开)，Fourier级数的收敛性定理，Fourier级数的收敛性判别法以及

　　Riemann引理、Dirichlet积分等。

　　8.反常积分与含参变量积分

　　无穷限的反常积分与无界函数的反常积分的敛散性的概念，含参变量正

　　常积分的概念与含参变量反常积分一致收敛的概念，无穷限的反常积分与无

　　界函数的反常积分收敛性的几种常用判别法，含参变量正常积分的几个分析

　　性质(如连续性、可微性、可积性)以及与含参变量反常积分的一致收敛性

　　有关的一系列问题。

　　五、考试要求

　　数学分析课程的内容体量大、覆盖面广，要求考生掌握好考试内容中前

　　面提到的八大块内容的同时，理解与掌握知识点之间的横向联系和纵向联

　　系，形成知识网络，能够做到不同板块知识点之间的互相渗透和互相交融。