广西科技大学硕士研究生招生考试初试科目考试大纲
815 高等代数
专业：0701 数学
一、考试的总体要求
学院： 理学院
要求考生准确理解基本概念和基本定理，扎实掌握方法，并对定理能够灵活运用;
而且要求有较强的计算能力、分析能力与解决问题的能力，对高等代数的思维和方法能
灵活运用。答题务必书写清晰，过程必须详细，不在试卷上答题。
二、考试形式与试卷结构
(一)答卷方式：闭卷，笔试
(二)答题时间：180分钟
(三)总分：150分
(四)考试题型及分值
题型
填空题
计算题
综合题
分值
10—40 分
三、考试内容及所占分值
(一)多项式(不超过20分)
1.考核知识点
30—90 分
30—60 分
数域，一元多项式;整除的概念，最大公因式;因式分解定理;重因式;多项式函
数;复系与实系数多项式的因式分解;有理系数多项式。
2.考核内容
(1)理解数域的定义;数域P上一元多项式的概念。
(2)理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。
(3)正确理解和掌握两个多项式的最大公因式,互素等概念及性质，会求两个多项
式的最大公因式。
(4)理解不可约多项式的定义及性质;掌握因式分解及唯一性定理;懂得标准分解
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式;理解和掌握k重因式的定义。
(5)掌握余数定理及多项式的根的性质;知道代数基本定理;掌握复(实)系数多
项式分解定理及标准分解式;理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系;
懂得本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质及Eisenstein判别
法。
(二)矩阵代数(不超过25分)
1.考核知识点
矩阵及其运算;矩阵的分块与初等方阵;矩阵的逆;线性方程组。
2. 考核内容
(1)掌握矩阵分块及其运算，理解矩阵初等变换和初等矩阵的概念，熟练掌握矩阵
初等变换与矩阵乘法的关系，并能应用初等变换将矩阵化简成简化阶梯形矩阵。
(2)逆矩阵的性质及求法。
(3)理解线性方程组及其解的概念，掌握线性方程组解的性质，理解线性方程组消
元法与矩阵初等变换的关系，并能利用矩阵初等变换对线性方程组的解的情况作讨论。
(三)方阵的行列式 (不超过25分)
1.考核知识点
行列式的定义;行列式的性质;行列式的展开;用行列式求矩阵的逆矩阵与克拉默
(Cramer)法则。
2.考核内容
(1)理解行列式的概念，熟练掌握行列式的基本性质，掌握方阵行列式性质与矩阵
初等变换的关系，并能熟练利用行列式的性质计算行列式。
(2)理解余子式、代数余子式的概念，熟练掌握方阵行列式按一行(列)展开的公
式，并熟练应用行列式展开式计算行列式。
(3)理解伴随矩阵的概念，掌握使用公式法求矩阵的逆矩阵的方法，知道克拉默
(Cramer)法则。
(四)矩阵的秩与线性方程组(不超过30分)
1.考核知识点
向量组的线性相关性;向量组的秩;矩阵的秩，线性方程组解的结构。
2.考核内容
(1)理解向量组的线性相关性的定义及性质，熟练掌握向量组线性相关性的判别。
(2)理解并掌握向量组等价、向量组极大线性无关组和向量组的秩的概念和性质，会利
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用向量组的秩判别向量组的线性相关性。
(3)理解矩阵的秩的概念，掌握矩阵的秩、向量组的秩的性质及求法，并熟练掌握求向量
组的线性关系、矩阵的秩等，掌握矩阵的秩的一些简单的等式和不等式。
(4)理解线性方程组解的结构，掌握解的性质，理解齐次线性方程组基础解系的概念，并能
熟练求出齐次线性方程组的基础解系，熟练掌握线性方程组的通解的求法。
(五)线性空间(不超过20分)
1.考核知识点
线性空间;子空间;生成元集，线性空间的基与维数;线性空间的基变换和坐标变
换;子空间直和;线性空间的同构。
2.考核内容
(1)理解和掌握线性空间的定义及性质;会判断一个代数系统是否线性空间。
(2)理解线性子空间的定义及判别定理，理解子空间的交与和的概念及性质。
(3)理解线性空间的基和维数的概念及性质，掌握线性空间维数与子空间维数的关
系，掌握维数公式;理解和掌握基变换与坐标变换公式。
(4)理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件，懂得判定两个子空间的和是
否直和。了解线性空间同构的概念、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
(六)线性变换与相似矩阵(不超过30分)
1.考核知识点
线性变换的定义及其性质;线性变换的矩阵与相似矩阵;线性变换(矩阵)的特征
值和特征向量;可对角化条件;不变子空间与根空间分解。
2.考核内容
(1)理解线性变换、值域和核的定义及其性质，掌握线性变换的运算。
(2)掌握线性变换与矩阵的关系，理解矩阵相似的概念及其性质，熟练掌握线性变
换(矩阵)特征值和特征向量的求法，并能应用特征值和特征向量进行简单的矩阵计算。
(3)理解矩阵可对角化的定义，掌握矩阵可对角化的判别条件，知道哈密顿-凯莱
定理，懂得矩阵最小多项式的定义及其性质;
(4)了解不变子空间的定义及性质，理解线性空间的根子空间分解定理。
(七) �-矩阵(不超过15分)
1.考核知识点
�-矩阵;�-矩阵在初等变换下的标准形;不变因子;矩阵相似的条件;初等因子;
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若尔当标准形的理论推导;矩阵的有理标准形。
2.考核内容
(1)理解λ-矩阵的概念，理解并掌握λ-矩阵的初等变换、行列式因子、不变因子、
初等因子的概念及其它们之间的关系。
(2)理解并掌握方阵的有理标准形和若尔当标准形的概念及其求法，掌握矩阵相似
的判别。
(八)内积空间 (不超过30分)
1.考核知识点
内积空间的定义与基本性质;标准正交基与矩阵的QR分解;正交子空间与最小二
乘法;正交变换;实对称矩阵与酉相似标准形。
2.考核内容
(1)理解内积空间的概念和性质，理解和掌握正交向量组、标准正交基的概念和性
质，掌握施密特正交化方法和可逆矩阵的QR分解方法。
(2)理解子空间正交及正交补的概念和性质，理解掌握正交变换的定义和性质，对
称变换(对称矩阵)的性质以及求对称矩阵的正交相似标准形，会用正交变换化二次型
为标准形。
(九)双线性函数与二次型(不超过20分)
1.考核知识点
双线性函数与二次型;化二次型为标准形;规范形与惯性定理;正定二次型与正定
矩阵。
2.考核内容
(1)理解双线性函数的概念及性质，了解双线性函数与二次型的关系。
(2)掌握二次型的标准形及其求法，会求实(复)数域上二次型的规范形，掌握惯
性定理。
(3)正定二次型(矩阵)及其判别。
四、主要参考书目
(一)同济大学数学系.高等代数与解析几何(第二版).高等教育出版社,2016.
(二)北京大学数学系前代数小组.高等代数(第五版).高等教育出版社,2014.