考试要求、主要内容：
要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，
掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻
辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题
的能力。
考试内容：
(一) 多项式
1. 一元多项式的整除、最大公因式、带余除法公式、互素、不
可约多项式、因式分解、重因式、根及重根、多项式函数的概念及
判别;
2. 辗转相除法求两个多项式的最大公因式;多项式有重因式的
判别方法，实数域、复数域上多项式因式分解定理，有理系数多项
式的全部有理根;
3. 一些重要定理的证明;运用多项式理论证明有关命题; 用
多项式函数方法证明有关结论。
(二) 行列式
1. n-级排列、对换、 n-级排列的逆序及逆序数和奇偶性;
2. n-阶行列式的定义，基本性质及常用计算方法;
3. 行列式的代数余子式，Vandermonde行列式;
4. Cramer 法则解决问题。
(三) 线性方程组
1. 向量组线性相(无)关的判别及相应齐次线性方程组有(无)
非零解的相关向量判别法、行列式判别法;
2. 向量组的极大线性无关组性质，向量组之间秩的大小关系定
理及其推论，向量组的秩的概念及计算，矩阵的行秩、列秩、秩概
念及其行列式判别法和计算;
3. 线性方程组有(无)解的判别定理，齐次线性方程组有(无)
非零解的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法;
4. 非齐次线性方程组的解法和解的结构定理。
(四) 矩阵理论
1. 矩阵基本运算、分块矩阵运算及常用分块方法并用于证明与
矩阵相关的结论;
2. 初等矩阵、初等变换及其与初等矩阵;
3. 矩阵的逆和矩阵的等价标准形，矩阵可逆的条件及其与矩阵
的秩和初等矩阵的关系，伴随矩阵概念及性质;
4. 行列式乘积定理;
5. 矩阵的迹、方阵的多项式;
6. 矩阵的常用分解，一些特殊矩阵的常用性质;
(五) 二次型理论
1. 二次型及其标准形、规范形，惯性定理及其应用;
2. 实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念
及判定条件和应用;
3. 实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征
值标准型的求法。
(六) 线性空间;
1. 线性空间、子空间的定义及性质;
2. 线性空间中一个向量组的秩及计算方法;
3. 线性(子)空间的基和维数，子空间的基扩充定理，生成子
空间;子空间的直和、维数公式;
4. 线性空间的同构;
5. 向量组线性相关或无关及子空间直和等相关结论的综合证
明。
(七)线性变换
1. 线性变换定义与运算及其矩阵表示;矩阵的特征多项式和最
小多项式及其有关性质;
2.线性变换及其对应矩阵的特征值和特征向量;
3.线性变换及其矩阵的线性无关特征向量的判别和最大个数
及特征子空间;线性变换和矩阵可对角化;
4.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，矩阵的对角化的判
定和计算;
5.矩阵相似的概念及同一个线性变换关于不同基的矩阵之间
的关系;Hamilton-Caylay定理;
6.线性变换的不变子空间、核、值域。
(八)λ-矩阵
1.λ-矩阵的初等变换、标准型、行列式因子、不变因子、初
等因子及三种因子之间的关系;
2.矩阵的Jordan标准形的存在唯一性定理的证明及其应用。
(九)欧氏空间
1.内积和欧氏空间的定义及简单性质;欧氏空间的度量矩阵的
概念及性质;
2.欧氏空间的标准正交基概念及其求法和性质的证明与应用;
3.子空间的正交以及正交补;
4.正交变换和正交矩阵，对称变换;线性无关向量组的施密特
(Schmidt)正交化方法。
5.实对称矩阵的正交相似对角化定理及其相应正交矩阵和对
角矩阵的求法;用求特征值方法化实二次型为标准形。
参考书目
[1]《高等代数(第五版)》，北京大学
数学系前代数小组编，高等教育出版社，
2019
[2]《高等代数(第五版)》，张禾瑞、
郝鈵新编，高等教育出版社，2007