2022海南师范大学自命题考研大纲：常微分方程
一、考试形式与试卷结构
(一)试卷成绩及考试时间
本试卷满分为100分，考试时间为120分钟。
(二)答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
(三)试卷结构
填空题;简答题;解答与证明题等
二、考试目标：
1.掌握常微分方程的基本概念和求解微分方程的基本方法。
2.理解常微分方程的基本理论和基础知识，增强学生综合运用数学分析、高等代数等前置课程的基本概念、方法和结果的能力。
3.运用常微分方程的基本理论和方法来分析解决微分方程问题，以常微分方程为基础建立数学模型。
三、考试范围：
(一)绪论
1.常微分方程模型
会构建常微分方程模型。
2.基本概念和常微分方程的发展历史
掌握常微分方程基本概念。
(二)一阶微分方程的初等解法
1.变量分离方程与变量变换
掌握求解变量分离方程的方法;掌握用变量变换化为变量分离型方程的方法。
2.线性微分方程与常数变易法
会应用常数变易法求解线性微分方程。
3.恰当微分方程与积分因子
会求解恰当微分方程;掌握一元函数积分因子的求解与应用。
4.一阶隐式微分方程与参数表示
会求解一阶隐式微分方程;会选择合适的参数表示求解方程。
(三)一阶微分方程的解的存在定理
1.解的存在唯一性定理与逐步逼近法
理解解的存在唯一性定理;掌握Picard逐步逼近法。
2.解的延拓
理解解的延拓定理。
3.解对初值的连续性和可微性定理
理解解对初值的连续依赖性与可微性定理。
(四)高阶微分方程
1.线性微分方程的一般理论
理解线性微分方程的有关概念;了解解的存在唯一性定理及通解结构定理;会应用常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程。
2.常系数线性微分方程的解法
掌握常系数齐次线性微分方程的解法;会应用比较系数法求解非齐次线性微分方程。
3.高阶微分方程的降阶和幂级数解法
会用合适的变量替换将某些高阶方程降阶。
(五)线性微分方程组
1.存在唯一性定理
会使用矩阵表示线性微分方程组;会将高阶线性方程化为与之等价的一阶线性方程组;理解存在唯一性定理。
2.线性微分方程组的一般理论
掌握线性微分方程组解的一些代数结构;会应用基解矩阵求出线性微分方程组的通解与特解。
3.常系数线性微分方程组
会求解二阶方阵的特征值与特征向量;会表示特征向量互不相同的基解矩阵。
(六)非线性微分方程
1.稳定性
掌握零解稳定，不稳定，渐近稳定等概念;会求驻定解并判断驻定解的稳定性态;会判定相关方程零解的稳定性。
2.V函数方法
了解李雅普诺夫定理。
四、主要参考书目
1.王高雄等编：《常微分方程》，第三版，高等教育出版社，2008年。