哈尔滨理工大学2021年818高等代数考研大纲

　　参考书目：

　　[1] 《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，人民教育出版社，1978

　　[2] 《高等代数》，刘昌堃，叶世源，叶家琛，陈承东，同济大学出版社，1995

　　[3] 《高等代数与解析几何》，同济大学应用数学系，高等教育出版社，2005

　　一、考试目的与要求

　　测试考生对线性代数主要内容包括多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组、线性空间与线性变换、二次型的理解及掌握程度；对知识的运用能力；同时考察学生对相关拓展内容如内积空间、 矩阵等的了解情况。要求考生准确记忆基本概念，理解基本理论，掌握基本计算，并能妥善运用到综合题目的处理中。此外，对于内积空间、矩阵的内容，考生也要有所了解。

　　二、试卷结构（满分150分）

　　内容比例：

　　多项式理论                 约25分

　　行列式                     约20分

　　矩阵运算                   约25分

　　线性方程组                 约15分

　　线性空间与线性变换         约40分

　　二次型                     约15分

　　扩展部分                   约10分

　　三、考试内容与要求

　　（一）多项式理论

　　考试内容：

　　多项式的四则运算；多项式的整除、带余除法；最高公因式；因式分解；有理数域上多项式的根；重因式。

　　考试要求：

　　1、了解基本概念：最低公倍式、最大公因式、重因式、本原多项式；

　　2、理解基本理论： 因式分解理论、代数基本定理、本原多项式分解定理、公因式的性质；

　　3、掌握基本计算：带余除法、辗转相除法、重因式判定方法、艾森斯坦因判别法、整系数多项式的有理根判别法；

　　4、综合运用以上内容进行合理地分析、证明、判断。

　　（二）行列式

　　考试内容：

　　三、四阶数字行列式的计算；特殊任意阶行列式计算；范德蒙行列式；与行列式性质相关的证明；克拉默法则。

　　考试要求：

　　1、了解行列式不同的定义方式、行列式降阶运算以及拉普拉斯定理；

　　2、理解行列式性质、代数余子式概念；

　　3、掌握行列式的计算、行列式性质的证明、范德蒙行列式形式及应用、克拉默法则；

　　4、综合运用矩阵、线性变换等内容处理行列式相关计算。

　　（三）矩阵运算

　　考试内容：

　　矩阵的加法、数乘、乘法运算；特殊矩阵的幂运算；矩阵多项式计算；求逆运算；初等矩阵；矩阵的等价标准型；矩阵的秩、分块矩阵；矩阵方程。

　　考试要求：

　　1、了解矩阵各运算的定义和条件；

　　2、理解矩阵乘法和初等矩阵的关系、伴随矩阵和逆矩阵的关系、分块矩阵的基本思想、矩阵的秩的概念以及矩阵等价标准型；

　　3、掌握矩阵的乘法、求逆方法、克拉默法则的矩阵描述、伴随矩阵的性质、分块矩阵计算技巧、矩阵求秩、矩阵等价标准型的计算；

　　4、能够综合处理行列式、矩阵、方程组的解的判定等问题。

　　（四）线性方程组理论

　　考试内容：

　　高斯消元法；齐次线性方程组基础解系和通解；非齐次线性方程组通解；非齐次线性方程组与对应齐次线性方程组解的关系。

　　1、了解线性方程组的基本概念：线性方程组定义；线性方程组通解和特解；相容性。

　　2、理解齐次线性方程组基础解系概念、理解非齐次线性方程组与对应齐次线性方程组解的关系、矩阵的秩与线性方程组解的关系。

　　3、掌握高斯消元法求解线性方程组的方法、利用矩阵的秩判断线性方程组解属性的方法。

　　（五）线性空间与线性变换

　　考试内容：

　　线性空间的概念；线性运算性质；向量的线性相关性；向量组的极大线性无关组、秩；线性空间的基与维数；向量在某基下坐标；过渡矩阵和坐标变换公式；子空间的概念和判定；子空间的维数公式；子空间的直和；线性空间的同构；线性映射和线性变换；线性变换的基下矩阵；相似矩阵；特征值与特征向量；矩阵对角化条件。

　　考试要求：

　　1、了解线性空间概念、线性运算性质、向量组的极大线性无关组和秩的概念、线性空间基与维数的概念、子空间的概念、同构的概念、基下矩阵概念；

　　2、理解向量组的线性相关性概念、向量组极大无关组与线性空间的基的关系、向量组的秩与线性空间维数的关系、特征值与特征向量的关系、矩阵对角化条件、子空间直和概念、矩阵相似的概念；

　　3、掌握向量组线性相关性的讨论、向量组的极大线性无关组和秩的计算、过渡矩阵和坐标变换的计算、利用子空间维数公式计算子空间维数、向量组是否构成子空间的判定、直和的判定、基下矩阵的计算、矩阵特征值和特征向量的计算、矩阵的对角化、同一线性变换的不同基下矩阵的转换；

　　4、能够综合运用行列式、矩阵、方程组、向量组、特征值相关理论进行合理地分析、判断、证明。

　　（六）二次型理论

　　考试内容：

　　向量内积的概念；二次型定义及其矩阵表示；二次型的秩、惯性指数概念；正交矩阵；矩阵的合同；二次型的标准型及其计算方法；二次型的正定性。

　　考试要求：

　　1、了解内积空间的概念、惯性定理、各类有定二次型概念。

　　2、理解二次型标准性概念、二次型秩的概念、二次型标准型的唯一性意义、矩阵的合同与相似以及等价的关系、正交矩阵概念。

　　3、掌握配方法化二次型为标准型、如何用正交变换化二次型为标准型、利用二次型矩阵的特征值判定其标准型性质、正定矩阵和正定二次型的判定。

　　（七）扩展部分

　　考试内容：

　　不变因子、初等因子；若当标准型；正交变换；正规变换。

　　考试要求：

　　1、了解不变因子、初等因子；若当标准型；正交变换；正规变换等概念。

　　2、掌握若当型计算、不变因子和初等因子关系及求法；理解第一类正交变换、镜面反射变换；了解正规变换性质。