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中国地质大学(北京)
硕士研究生《高等代数》考试大纲
科目名称：高等代数
代 码：代替821
一、考试性质
本门课程考试的内容包括行列式、矩阵、线性方程组、多项式理论、二次型、线性变换和线性空间等。要求考生全面系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，熟练掌握高等代数的基本思想和基本方法，评价标准是使高校优秀本科毕业生能达到及格或及格以上水平。
二、考试形式与试卷结构
1. 答卷方式：闭卷、笔试
2. 答卷时间：180分钟
3. 题型比例：满分150分，计算题占总分80%，证明题占总分20%。
三、考查要点
1. 多项式
一元多项式环、带余除法、整除、最大公因式、辗转相除法，互素的充要条件，不可约多项式、因式分解的唯一性和标准分解式、重因式、多项式函数、根、重根;复(实)系数多项式的因式分解;代数基本定理;有理系数多项式的有理根、艾森斯坦因判别法。
2. 行列式
排列、行列式定义、性质和计算、按行展开和拉普拉斯展开定理、克莱姆法则。
3. 线性方程组
n维向量空间、向量组的线性相关性及其基本性质、极大线性无关组、秩;线性方程组有解的判别定理;线性方程组解的结构、基础解系、解空间、求解的方法。
4. 矩阵
矩阵的运算及性质;矩阵的秩;矩阵的初等变换与初等矩阵;矩阵在初等变换下的
标准形;矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式;行列式乘积定理;分块矩阵;
分块矩阵运算;矩阵的迹、方阵的多项式。
5. 二次型
二次型的矩阵表示;二次型的标准形与合同变换;复数域与实数域上二次型的标准形、规范形;惯性定理;实二次型、实对称矩阵正定的充分必要条件。
6. 线性空间
线性空间的概念;一些重要的线性空间实例，基、维数与坐标;基变换与坐标变换。
7. 线性变换
线性映射与线性变换的概念、运算;线性变换的矩阵表示;线性变换(矩阵)的特
征多项式、特征值与特征向量;线性变换的值域与核;特征子空间;线性变换的不
变子空间;线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件。
8. λ-矩阵
λ-矩阵在初等变换下的标准形、不变因子、行列式因子;矩阵相似的条件;数字矩阵或线性变换的不变因子、初等因子、Jordan标准形。
9. 欧几里得空间
向量内积;欧氏空间的概念及性质，度量矩阵;向量的长度、夹角、正交、距离;
标准正交基;欧氏空间的子空间的正交补，欧氏空间的同构;正交变换与正交矩阵
的等价条件，对称变换的概念与性质;用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方法。
四、参考资料
《高等代数》(第四版)，北京大学数学系编，王萼芳、石生明修订，高等教育出版社。
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