2016年考研数学复习,公式是首要掌握的基础和关键。新东方在线整理了概率论与数理统计部分的重要公式,希望考生收藏背诵,并在复习中灵活的掌握和运用,提升解题能力。
2016年考研数学概率与统计公式:随机变量及其分布
(1)离散型随机变量的分布律 | 设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk,k=1,2,…, 则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出: 。 显然分布律应满足下列条件: (1) , , (2) 。 | ||||
(2)连续型随机变量的分布密度 | 设 是随机变量 的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有 , 则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质: 1° 。 2° 。 | ||||
(3)离散与连续型随机变量的关系 |
积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 | ||||
(4)分布函数 | 设 为随机变量, 是任意实数,则函数
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。 分布函数具有如下性质: 1° ; 2° 是单调不减的函数,即 时,有 ; 3° , ; 4° ,即 是右连续的; 5° 。 对于离散型随机变量, ; 对于连续型随机变量, 。 | ||||
(5)八大分布 | 0-1分布 | P(X=1)=p, P(X=0)=q
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二项分布 | 在 重贝努里试验中,设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量,设为 ,则 可能取值为 。 , 其中 , 则称随机变量 服从参数为 , 的二项分布。记为 。 当 时, , ,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。 | ||||
泊松分布 | 设随机变量 的分布律为 , , , 则称随机变量 服从参数为 的泊松分布,记为 或者P( )。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。 | ||||
超几何分布 |
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。 | ||||
几何分布 | ,其中p≥0,q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。 | ||||
均匀分布 | 设随机变量 的值只落在[a,b]内,其密度函数 在[a,b]上为常数 ,即
其他, 则称随机变量 在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。 分布函数为
当a≤x1 。 | ||||
指数分布 |
其中 ,则称随机变量X服从参数为 的指数分布。 X的分布函数为
记住积分公式:
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正态分布 | 设随机变量 的密度函数为 , , 其中 、 为常数,则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 。 具有如下性质: 1° 的图形是关于 对称的; 2° 当 时, 为最大值; 若 ,则 的分布函数为 。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布,记为 ,其密度函数记为 , , 分布函数为 。 是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。 Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)= 。 如果 ~ ,则 ~ 。 。 | ||||
(6)分位数 | 下分位表: ; 上分位表: 。 | ||||
(7)函数分布 | 离散型 | 已知 的分布列为 , 的分布列( 互不相等)如下: , 若有某些 相等,则应将对应的 相加作为 的概率。 | |||
连续型 | 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)≤y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 |