2016年考研数学复习，公式是首要掌握的基础和关键。新东方在线整理了概率论与数理统计部分的重要公式，希望考生收藏背诵，并在复习中灵活的掌握和运用，提升解题能力。
2016年考研数学概率与统计公式：二维随机变量
（1）联合分布 | 离散型 | 如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。 设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称
为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2） | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
连续型 | 对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a
则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2） | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（2）二维随机变量的本质 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（3）联合分布函数 | 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1） （2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即 当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
（4） （5）对于 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（4）离散型与连续型的关系 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（5）边缘分布 | 离散型 | X的边缘分布为 ； Y的边缘分布为 。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
连续型 | X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
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（6）条件分布 | 离散型 | 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为
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连续型 | 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 ； 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
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（7）独立性 | 一般型 | F(X,Y)=FX(x)FY(y) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
离散型 |
有零不独立 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
连续型 | f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
二维正态分布 |
＝0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
随机变量的函数 | 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（8）二维均匀分布 | 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1
D1 O 1 x
图3.1
y
1
O 2 x
图3.2
y
d
c O a b x 图3.3
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（9）二维正态分布 | 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）～N（ 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即X～N（ 但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
（10）函数分布 | Z=X+Y | 根据定义计算： 对于连续型，fZ(z)＝ 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ， | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z=max,min(X1,X2,…Xn) | 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：
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分布 | 设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
的分布密度为
我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设
则
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t分布 | 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且
可以证明函数
的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。
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F分布 | 设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).
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