2021年辽宁工程技术大学考博《数值分析》考试大纲
2021.02.19 14:22

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  《数值分析》考试大纲

  一、参考教材

  1.数值分析,李庆扬,王能超,易大义,清华大学出版社,2008年第5版。

  2.数值分析,曾繁慧,中国矿业大学出版社,2009。

  二、考核要求

  理解并熟练掌握误差概念,理解算法的数值稳定性、算法复杂度等误差的定性分析;理解非线性方程求根的数值计算原理,掌握二分法、不动点迭代法等方程求根的数值方法,会分析迭代法的收敛性与收敛阶,重点掌握牛顿迭代法;理解线性方程组的数值解法原理,掌握基本算法,理解直接法的稳定性与复杂度、方程组的病态性,理解掌握迭代法的收敛性;理解插值原理,熟练掌握离散数据的插值方法;理解三种函数逼近的准则,会求连续函数的最佳一致逼近及最佳平方逼近、离散数据的最小二乘逼近;理解数值微积分的原理,掌握基本数值方法及复化计算;掌握一阶常微分方程初值问题的基本数值解法。

  三、考试内容、比例

  (一)绪论 10%

  (1)绝对误差、相对误差、有效数字的概念;

  (2)一元函数、二元函数数值计算的误差估计;

  (3)算法的数值稳定性、算法复杂度,计算的有效算法,减小误差、控制误差的方法。

  (二)非线性方程数值解法 15%

  (1)非线性方程求根的原理及方法,会确定方程的有根区间;

  (2)二分法原理、二分法解方程;

  (3)不动点迭代法原理、步骤,收敛性与收敛阶定理,迭代计算及误差分析;重点是迭代法的收敛性与收敛阶;

  (4)迭代的加速方法:Aitken加速方法,Steffenson加速方法;

  (5)牛顿迭代法原理、算法及其收敛性;

  (6)改进的牛顿迭代法:简化牛顿法、牛顿下山算法和割线法,求重根的修正牛顿法。

  (三)线性方程组的数值解法 20%

  (1)高斯消去法的原理、可行性及算法的运算量,熟练应用高斯消去法计算;

  (2)理解小主元的不稳定性及主元素的思想,掌握列主元消去算法;

  (3)理解消元过程的矩阵解释,了解常用的矩阵分解,掌握LU算法,理解平方根法、追赶法的稳定性与复杂度;

  (4)掌握向量与矩阵的范数及矩阵的条件数,理解方程组的病态概念,掌握方程组的误差分析方法;

  (5)理解迭代法的思想,熟练掌握雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法与SOR迭代法;理解迭代法的思想,掌握收敛性定理,会判别迭代法的收敛性。

  (四)插值法 15%

  (1)理解插值问题、插值多项式的存在惟一性;

  (2)掌握拉格朗日插值多项式、插值基函数及插值余项,会计算;

  (3)掌握差商概念与性质,熟练掌握牛顿插值多项式及插值余项,会计算;

  (4)理解埃尔米特插值问题与原理;

  (5)理解高次插值的危害,理解分段低次插值思想,理解三次样条插值问题及原理。

  (五)函数与数据的逼近 15%

  (1)理解函数逼近概念、原理,辨析三种逼近准则;

  (2)理解切比雪夫正交多项式及其性质、最佳一致逼近原理,会求最佳一致逼近;

  (3)理解勒让德正交多项式及其性质、最佳平方逼近准则,法方程及其解的存在唯一性,会求最佳平方逼近解;

  (4)理解最小二乘逼近原理,法方程及其解的存在唯一性,会求最小二乘解。

  (六)数值积分与数值微分 15%

  (1)理解数值积分的必要性,了解插值型积分的原理,掌握代数精度概念;

  (2)熟练掌握低阶的牛顿-柯特斯公式及其余项、代数精度,并会计算;

  (3)高斯公式与代数精度、与正交多项式的关系,掌握低阶高斯公式的计算;

  (4)复化求积方法,熟练掌握低阶复化公式的计算、误差分析;

  (5)数值微分原理,计算低阶数值微分、余项分析。

  (七)常微分方程数值解法 10%

  (1)理解常微分方程初值问题、定解条件及适定性,掌握初值问题的基本概念;

  (2)掌握1、2阶欧拉法(欧拉法,后退欧拉法,梯形法,改进的欧拉法)的原理,熟练掌握1、2阶欧拉法算法及误差估计,理解单步法的局部、整体截断误差,会求方法的阶;

  (3)理解龙格-库塔方法思想;

  (4)理解单步法的收敛性与相容性,掌握单步法的稳定性概念、稳定区间的计算;

  (5)线性多步法概念与原理,会求方法的阶。

  四、考试题型

  填空题、选择题、计算题、证明题。

  五、考试时间

  本科目考试时间为180分钟。

  原文链接:https://yzb.sjtu.edu.cn/info/1004/3164.htm

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