南京理工大学博士研究生招生泛函分析考试大纲
第一章 度量空间
§1 压缩映象原理
§2 完备化
§3 列紧集
§4 线性赋范空间
4.1 线性空间
4.2 线性空间上的距离
4.3 范数与Banach空间
4.4 线性赋范空间上的模等价
4.5 应用(最佳逼近问题)
4.6 有穷维 空间的刻划
§5 凸集与不动点
5.1 定义与基本性质
5.2 Brouwer与Schauder不动点原理 5.3 应用 §6 内积空间
6.1 定义与基本性质
6.2 正交与正交基
6.3 正交化与Hilbert空间的同构
6.4 再论最佳逼近问题
第二章 线性算子与线性泛函
§1 线性算子的概念
1.1 线性算子和线性泛函的定义
1.2 线性算子的连续性和有界性
§2 Riesz定理及其应用
Laplace方程 狄氏边值问题的弱解
变分不等到式
§3 纲与开映象定理
3.1 纲与纲推理
3.2 开映象定理
3.3 闭图象定理
3.4 共鸣定理
3.5 应用
Lax-Milgram定理
Lax等价定理
§4 Hahn-Banach定理
4.1 线性泛函的延拓定理
4.2 几何形式----凸集分离定理
§5 共轭空间·弱收敛·自反空间
5.1 共轭空间的表示及应用(Runge)
5.2 共轭算子
5.3 弱收敛及*弱收敛
5.4 弱列紧性与*弱列紧性
§6 线性算子的谱
6.1 定义与例
6.2 Γелbφaнд定理
第三章 紧算子与Fredholm算子
§1 紧算子的定义和基本性质
§2 Riesz-Fredholm 理论
§3 Riesz-Schauder理论
§4 Hilbert-Schmidt定理
§5 对椭圆方程的应用
§6 Fredholm算子
参考文献
1. 张恭庆 林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。
2.黄振友 杨建新 华踏红 刘景麟 《泛函分析》， 科学出版社， 2003。